直列に接続した抵抗とコイルに流れる電流
初心に戻って、直列に接続した抵抗とコイルに流れる電流の式を求めたいと思います。
想定しているのは以下の回路で、直流電圧源があり、コイルとスイッチを直列に接続しています。
スイッチは抵抗の代わりで、ONしている時は低抵抗で、OFFしている時は高抵抗で考えます。
スイッチについては、こちらの記事も参照してください。
電源電圧V、インダクタンスL、スイッチの抵抗をRとします。
電流値は時間で変化するのでi(t)としておきます。
これを式で表すと以下になります。
$$V = R*i(t) + L* \frac{di(t)}{dt}・・・式(1) $$
式(1)を変換します。
$$\frac{di(t)}{V-R*i(t)}=\frac{dt}{L}・・・式(2) $$
式(2)を積分します。
$$\int \frac{di(t)}{V-R*i(t)}=\int \frac{dt}{L}・・・式(3) $$
積分の結果です。Aは任意の定数です。
$$-\frac{1}{R} * \log|V-R*i(t)|=\frac{t}{L}+A・・・式(4) $$
式(4)よりi(t)は式(5)となります。A’は任意の定数です。
$$ i(t)=\frac{V}{R} – A’ * e^{-\frac{R}{L}*t} ・・・式(5) $$
これが抵抗(スイッチ)とコイルに流れる電流になります。
t=0usでスイッチON、初期電流i(0)=0A
時間t=0でスイッチがONになり、初期電流をi(0)=0Aとすると、式(5)のA’は
$$A’=\frac{V}{R}$$
となります。
A’が決まったので、式(5)は以下となります。
$$ i(t)=\frac{V}{R} * (1 – e^{-\frac{R}{L}*t})・・・式(6) $$
式(6)をエクセルでグラフ化してみたいと思います。
V=10V、L=100uH、R=5Ωとして、
t=0usから90usまでをグラフ化すると以下のようになりました。
t=90usでスイッチOFF、初期電流i(90us)=1.978A
では、次にt=90usでスイッチをOFFにしてみますが、
その前にスイッチOFFになる直前(スイッチONの最後）の電流値を見ておきます。
式(6)より、t=90usでの電流値は1.978Aでした。
これをスイッチOFF時の初期条件とします。
式(5)より、
$$ 1.978A=\frac{V}{R} – A” * e^{-\frac{R}{L}*(t-90us)} ・・・式(7) $$
t=90usにおけるA”は、
$$ A”= \frac{V}{R} – 1.978A ・・・式(8) $$
スイッチOFF時は抵抗を大きくしてR=1MΩとします。
すると式(8)は、
$$ A”= \frac{10V}{1MΩ} – 1.978A ・・・式(9) $$
となるので、A”はほぼ-1.978Aとなります。
なので、t>90以降でのi(t)は、
$$ i(t)=\frac{V}{R} – (-1.978A)*e^{-\frac{R}{L}*(t-90us)} ・・・式(10) $$
これもエクセルでグラフ化してみます。
スイッチがON(低抵抗)の時は電流値はなだらかに上昇し、
スイッチがOFF(高抵抗)になると急激に電流値が減少しました。
スイッチがOFFになった直後を拡大すると、以下のグラフになってました。
LTspiceでシミュレーション
確認のためにLTspiceでシミュレーションしてみました。
LTspiceでシミュレーションすると、swのON/OFFを制御する入力パルス信号に傾きがあるので、きっちり90usのタイミングで電流は減少を始めていませんでした。
ただ、全体の傾向としては、エクセルで計算した結果とLTspiceの結果は一致したと思います。
今回は抵抗とコイルに流れる電流値の確認ができました。
次回以降は連続パルスを入力した場合やコイルの逆起電力の計算もやってみたいと思います。
